Aplicación de Graphical LASSO en el Estudio de Valores del Mercado Financiero

Enfoque Estadístico del Aprendizaje Automático - Data Mining UBA

Resumen

Este trabajo propone una metodología innovadora para construir redes de dependencia entre acciones en el mercado financiero mediante el uso de Graphical LASSO (GLASSO). Al modelar las acciones como nodos de una red y analizar sus precios a lo largo del tiempo, buscamos identificar patrones de dependencias condicionales que podrían revelar tendencias y anomalías de interés para la toma de decisiones de inversión. La propuesta se centra en proporcionar una herramienta visual para comprender la estructura de dependencia en los activos financieros.

Carga de Librerías

# Verifica e instala paquetes necesarios antes de cargarlos
required.packages <- c(
  'glasso', 'colorRamps', 'igraph', 'RColorBrewer', 
  'threejs', 'htmlwidgets', 'quantmod', 'tidyverse', 
  'PerformanceAnalytics'
)
new.packages <- setdiff(required.packages, installed.packages()[, "Package"])
if (length(new.packages) > 0) {
  install.packages(new.packages, repos = 'http://cran.us.r-project.org')
}

# Cargar todas las librerías necesarias
invisible(lapply(required.packages, library, character.only = TRUE))

Valores bursátiles (stocks)

Se analizaran cerca de ~200 stocks, tomando algunos de los más conocidos a nivel internacional, sectores clave como tecnología, salud, finanzas y consumo:

symbols <- c("ABT", "ACN", "ATVI", "ADBE", "AFL", "A", "APD", "ALL", "GOOG", "MO", "AMZN", 
             "AEP", "AXP", "AIG", "AMT", "AMP", "AMGN", "ADI", "AON", "AAPL", "APTV", "T", 
             "ADSK", "ADP", "AZO", "BAX", "BDX", "BIIB", "BLK", "BMY", "AVGO", "CDNS", 
             "CAT", "CNC", "SCHW", "CVX", "CB", "CI", "CTAS", "CSCO", "C", "CME", "KO", 
             "CTSH", "CL", "CMCSA", "ED", "STZ", "GLW", "COST", "CCI", "CVS", "DHI", 
             "DHR", "DE", "DLR", "DG", "DLTR", "D", "DTE", "DUK", "ETN", "EBAY", "ECL", 
             "EW", "EMR", "EOG", "EQR", "ES", "EXC", "XOM", "FAST", "FIS", "FE", "FISV", 
             "GE", "GM", "GILD", "GS", "HCA", "HLT", "HD", "HON", "HPQ", "HUM", "IDXX", 
             "ITW", "ILMN", "INTC", "ICE", "IBM", "INTU", "ISRG", "JNJ", "JPM", "KMB", 
             "KLAC", "KHC", "KR", "LRCX", "LLY", "LMT", "LOW", "MPC", "MAR", "MMC", "MA", 
             "MCD", "MDT", "MRK", "MET", "MTD", "MCHP", "MSFT", "MDLZ", "MNST", "MCO", 
             "MS", "MSI", "NFLX", "NEM", "NEE", "NKE", "NSC", "NOC", "NVDA", "ORLY", "OXY", 
             "ORCL", "PCAR", "PAYX", "PYPL", "PEP", "PFE", "PM", "PSX", "PNC", "PPG", "PG", 
             "PGR", "PLD", "PRU", "PEG", "PSA", "QCOM", "REGN", "ROP", "ROST", "SPGI", 
             "SBAC", "SRE", "SHW", "SPG", "SO", "SBUX", "SYK", "SYY", "TGT", "TEL", "TXN", 
             "BK", "TRV", "DIS", "TMO", "TJX", "TSN", "USB", "UNP", "UNH", "UPS", "VLO", 
             "VRSK", "VZ", "V", "WMT", "WBA", "WM", "WEC", "WFC", "WMB", "YUM", "ZTS")


sectors <- c(
  rep("Health Care", 20), rep("Information Technology", 25), 
  rep("Consumer Staples", 20), rep("Financials", 35), rep("Energy", 10), 
  rep("Consumer Discretionary", 40), rep("Industrials", 15), 
  rep("Real Estate", 10), rep("Utilities", 7) 
)

# Crear un data.frame para combinar símbolos y sectores
data <- data.frame(symbols = symbols, sectors = sectors)

# Mostrar un vistazo del conjunto de datos
head(data)

# Generar gráfico
ggplot(data, aes(x = sectors)) +
  geom_bar(fill = "steelblue", color = "black") +
  coord_flip() +
  labs(
    title = "Distribución de Sectores en el Análisis Bursátil",
    x = "Sector",
    y = "Cantidad de Stocks"
  ) +
  theme_minimal()

Ventana temporal

La elección de la ventana de tiempo adecuada para el análisis de clustering de valores bursátiles y sus retornos depende de los objetivos específicos del análisis y de las características de los datos que deseas capturar. Aquí algunos enfoques para elegir una ventana de tiempo prudente:

1. Ventana de 6 a 12 meses:
   • Objetivo: Capturar tendencias y comportamiento reciente.
   • Ventajas: Captura el comportamiento en respuesta a eventos económicos recientes (por ejemplo, cambios en la política monetaria, crisis económicas). Permite agrupar acciones que están reaccionando de manera similar a situaciones actuales.
   • Uso recomendado: Esta ventana de tiempo es útil si tu objetivo es identificar patrones de comportamiento a corto plazo o si estás interesado en clasificar los stocks en función de cambios recientes del mercado.
2. Ventana de 24 a 36 meses:
   • Objetivo: Capturar patrones a mediano plazo.
   • Ventajas: Permite analizar el comportamiento de los valores a lo largo de un ciclo económico, teniendo en cuenta más eventos de mercado y distintas fases del ciclo. Es suficientemente larga como para evitar ruido temporal de corto plazo.
   • Uso recomendado: Útil para identificar clusters de acciones que mantienen características similares durante períodos más largos, lo cual puede ser indicativo de la estructura de sus industrias o estrategias subyacentes.
3. Ventana de 3 a 5 años o más:
   • Objetivo: Capturar la tendencia de largo plazo y los patrones de comportamiento cíclico.
   • Ventajas: Permite ver cómo los diferentes valores se comportan en situaciones diversas a largo plazo, incluyendo períodos de expansión y contracción del mercado.
   • Uso recomendado: Útil si estás buscando analizar características estructurales o fundamentales de los valores. A largo plazo, las agrupaciones obtenidas reflejarán similitudes en los fundamentos del negocio o la resistencia a factores de mercado, y no tanto el comportamiento a corto plazo.
4. Ventana adaptativa (rolling window):
   • Otra estrategia podría ser utilizar una ventana de tiempo rodante, por ejemplo, de 12 meses que vaya moviéndose cada mes o trimestre. Esto te permitiría observar cómo evolucionan los clusters a lo largo del tiempo y cómo cambian los comportamientos de las acciones.
   • Objetivo: Identificar cambios en los patrones de comportamiento de los stocks a lo largo del tiempo.
   • Ventajas: Captura cómo se modifican los grupos durante distintas fases del mercado y permite estudiar transiciones de comportamiento.

Para evaluar estos valores en diferentes condiciones de mercado (por ejemplo, tanto en tiempos de expansión como de recesión), usaremos una ventana de 36 meses.

# end_date <- Sys.Date() - days(1) # ayer
# start_date <- end_date - months(36)

# print(end_date)
# print(start_date)

Descarga de datos

Para obtener los datos financieros de varias acciones, se define una función que utiliza la función getSymbols() del paquete quantmod.

Esta función permite descargar información financiera desde diversas fuentes, siendo Yahoo Finance la fuente predeterminada.

El flujo de trabajo es el siguiente:

1. getSymbols() descarga los datos financieros de un símbolo en el rango de fechas especificado.
2. La función Cl() extrae los precios de cierre ajustado (Adjusted Close) de las series descargadas, que están en formato OHLCV (Open, High, Low, Close, Volume).
3. Se renombra la columna resultante con el símbolo correspondiente para facilitar su identificación.

La función también maneja errores utilizando tryCatch(), notificando cuando no se pueden descargar los datos para un símbolo específico.

### Código R para descargar datos financieros
get_stock_data <- function(symbol, src = "yahoo", start_date, end_date) {
  # Validación de fechas
  if (!inherits(start_date, "Date") | !inherits(end_date, "Date")) {
    stop("Los parámetros start_date y end_date deben ser objetos de clase Date.")
  }
  if (start_date >= end_date) {
    stop("El start_date debe ser anterior al end_date.")
  }
  
  # Descarga de datos con manejo de errores
  tryCatch({
    stock_data <- getSymbols(symbol, src = src, from = start_date, to = end_date, auto.assign = FALSE)
    stock_data <- Cl(stock_data)
    colnames(stock_data) <- symbol
    return(stock_data)
  }, error = function(e) {
    message(paste("No se pudieron obtener datos para el símbolo:", symbol, "Error:", e$message))
    return(NULL)
  })
}

Se aplica la función creada para las stocks definidas previamente, aplicando un merge para combinar las series temporales de cada símbolo en un único xts (serie temporal extensible).

# stock_list <- lapply(symbols, get_stock_data)
# stock_data <- do.call(merge, stock_list)

Guardando datos localmente

Para evitar volver a consultar la API de yahoo finance:

# Convertir el objeto stock_data a un data.frame
# stock_data <- as.data.frame(stock_data)

# Agregar una columna con las fechas como datos
# stock_data$fecha <- rownames(stock_data)

# Guardar los datos en un archivo de texto con un nombre dinámico basado en la fecha
# write.table(stock_data, file = sprintf("yahoo_data_%s.txt", end_date), 
#             row.names = FALSE, col.names = TRUE)

Lectura de los datos

Lectura de los datos guardados con fecha 2024-12-04, con 36 meses de valores:

# Leer los datos desde el archivo local
stock_data <- read.table("yahoo_data_2024-12-04.txt", header = TRUE)

# Configurar las fechas como nombres de fila y eliminar la columna redundante
rownames(stock_data) <- stock_data$fecha
stock_data$fecha <- NULL

# Filtrar por los símbolos definidos en la lista 'symbols'
stock_data <- stock_data %>% select(intersect(names(stock_data), symbols))

# Mostrar los datos finales para su validación
stock_data

Preprocesamiento

• Se descartan las columnas con datos faltantes o rotas.
• Luego, se preparan los dataframes para analizar los datos obtenidos de Internet.

Además, se calculan los retornos usando la función ROC que proviene del paquete TTR, el cual usualmente se instala de manera automática junto con quantmod, y sirve para calcular la tasa de cambio de una serie temporal de precios u otros datos financieros. Su uso típico es con precios de un activo en diferentes momentos y se emplea frecuentemente en análisis técnico para medir cuánto varía el precio entre un punto actual y un punto anterior.

# Eliminar columnas con datos faltantes o inconsistencias
# Nota: na.omit() también elimina filas completas con valores faltantes, lo cual podría ser demasiado restrictivo.
# stock_data <- na.omit(stock_data) 

# Calcular retornos diarios utilizando la función ROC
returns <- ROC(stock_data, type = "discrete")

# Convertir los datos originales a un tibble, agregando la columna 'Date'
stock_data_df <- as.data.frame(stock_data) %>%
  rownames_to_column(var = "Date") %>%
  mutate(Date = ymd(Date))

# Convertir los retornos diarios a un tibble, agregando la columna 'Date'
returns_df <- as.data.frame(returns) %>%
  rownames_to_column(var = "Date") %>%
  mutate(Date = ymd(Date))

Un rápido vistazo a los datos:

# Resumen estadístico de las primeras columnas de los datos de precios
print(summary(stock_data_df[,-1][,1:9]))

##       AAPL            MSFT            GOOG             AMZN       
##  Min.   :125.0   Min.   :214.2   Min.   : 83.49   Min.   : 81.82  
##  1st Qu.:156.0   1st Qu.:271.9   1st Qu.:110.75   1st Qu.:115.01  
##  Median :173.3   Median :324.9   Median :132.31   Median :140.39  
##  Mean   :176.3   Mean   :331.8   Mean   :132.32   Mean   :142.74  
##  3rd Qu.:189.9   3rd Qu.:406.3   3rd Qu.:148.68   3rd Qu.:173.16  
##  Max.   :242.6   Max.   :467.6   Max.   :192.66   Max.   :214.10  
##        V              JNJ             WMT             JPM       
##  Min.   :177.7   Min.   :144.4   Min.   :39.43   Min.   :102.0  
##  1st Qu.:213.4   1st Qu.:156.6   1st Qu.:47.22   1st Qu.:132.2  
##  Median :231.3   Median :162.8   Median :51.39   Median :145.8  
##  Mean   :238.2   Mean   :163.3   Mean   :54.65   Mean   :157.1  
##  3rd Qu.:267.9   3rd Qu.:170.7   3rd Qu.:59.35   3rd Qu.:184.4  
##  Max.   :316.6   Max.   :186.0   Max.   :93.51   Max.   :250.3  
##        MA       
##  Min.   :283.4  
##  1st Qu.:352.3  
##  Median :381.5  
##  Mean   :395.8  
##  3rd Qu.:444.8  
##  Max.   :532.9

# Visualizar una muestra de los datos
head(stock_data_df)

# Resumen estadístico de las primeras columnas de los retornos calculados
print(summary(returns_df[,-1][,1:9]))

##       AAPL                 MSFT                 GOOG           
##  Min.   :-0.0586795   Min.   :-0.0771563   Min.   :-0.0963500  
##  1st Qu.:-0.0083559   1st Qu.:-0.0089237   1st Qu.:-0.0116156  
##  Median : 0.0008576   Median : 0.0006171   Median : 0.0014792  
##  Mean   : 0.0006590   Mean   : 0.0005239   Mean   : 0.0004541  
##  3rd Qu.: 0.0100771   3rd Qu.: 0.0107313   3rd Qu.: 0.0113377  
##  Max.   : 0.0889746   Max.   : 0.0822681   Max.   : 0.0996518  
##  NA's   :1            NA's   :1            NA's   :1           
##       AMZN                  V                   JNJ            
##  Min.   :-0.1404944   Min.   :-0.0549146   Min.   :-0.0398326  
##  1st Qu.:-0.0127029   1st Qu.:-0.0070720   1st Qu.:-0.0056965  
##  Median : 0.0003105   Median : 0.0013160   Median : 0.0000632  
##  Mean   : 0.0005820   Mean   : 0.0006766   Mean   :-0.0000361  
##  3rd Qu.: 0.0139554   3rd Qu.: 0.0074102   3rd Qu.: 0.0056167  
##  Max.   : 0.1353590   Max.   : 0.1059908   Max.   : 0.0607282  
##  NA's   :1            NA's   :1            NA's   :1           
##       WMT                 JPM                   MA            
##  Min.   :-0.113757   Min.   :-0.0646779   Min.   :-0.0562243  
##  1st Qu.:-0.005197   1st Qu.:-0.0075801   1st Qu.:-0.0068125  
##  Median : 0.001094   Median : 0.0012035   Median : 0.0008128  
##  Mean   : 0.001019   Mean   : 0.0006883   Mean   : 0.0007148  
##  3rd Qu.: 0.007802   3rd Qu.: 0.0089027   3rd Qu.: 0.0083668  
##  Max.   : 0.069865   Max.   : 0.1154454   Max.   : 0.0912333  
##  NA's   :1           NA's   :1            NA's   :1

# Visualizar una muestra de los datos
head(returns_df)

Correlaciones

Para ilustrar el valor de la técnica Graphical LASSO en este caso de uso, comenzamos con un análisis de correlación. Esto nos ayuda a identificar relaciones entre las variables (acciones) y a explorar posibles patrones de colinealidad.

Selección aleatoria de acciones

• Se seleccionaron 30 acciones de manera aleatoria para calcular y visualizar su matriz de correlación.
• El proceso es reproducible gracias a la semilla establecida.

# Seleccionar 30 variables al azar del dataframe, excluyendo la primera columna (Date)
set.seed(42) # Fijar semilla para reproducibilidad
random_columns <- sample(names(stock_data_df)[-1], 30)

# Crear un subconjunto del dataframe con las columnas seleccionadas
stock_data_random <- stock_data_df[random_columns]


# Calcular la matriz de correlación utilizando observaciones completas
cor_matrix_values <- cor(stock_data_random, use = "pairwise.complete.obs")


# Visualizar la matriz de correlación
corrplot::corrplot(
  cor_matrix_values,
  method = "color",
  tl.cex = 0.6,
  tl.col = "black",
  title = "Matriz de Correlación de 30 Acciones Aleatorias"
)

OBSERVACIÓN INICIAL: Se identifican valores de alta correlación, tanto positivos como negativos, lo que sugiere relaciones estrechas entre ciertos activos.

Preparando un filtro para las variables muy correlacionadas (abs > 0.9), para visualizar mejor los datos:

# Filtrar símbolos con alta correlación en valores
pos_corr_pairs_values <- which(cor_matrix_values > 0.8 & abs(cor_matrix_values) < 1, arr.ind = TRUE)
neg_corr_pairs_values <- which(cor_matrix_values < -0.8 & abs(cor_matrix_values) < 1, arr.ind = TRUE)

# Asumimos que ya existen las variables pos_corr_pairs_values y neg_corr_pairs_values
# provenientes del código que mostraste.

# Crear un data frame con los pares altamente correlacionados positivamente
pos_pairs <- data.frame(
  Symbol1 = rownames(cor_matrix_values)[pos_corr_pairs_values[, 1]],
  Symbol2 = colnames(cor_matrix_values)[pos_corr_pairs_values[, 2]],
  Correlation = cor_matrix_values[pos_corr_pairs_values]
)

# Crear un data frame con los pares altamente correlacionados negativamente
neg_pairs <- data.frame(
  Symbol1 = rownames(cor_matrix_values)[neg_corr_pairs_values[, 1]],
  Symbol2 = colnames(cor_matrix_values)[neg_corr_pairs_values[, 2]],
  Correlation = cor_matrix_values[neg_corr_pairs_values]
)

# Si deseas, puedes ver una muestra de estos data frames:
head(pos_pairs)

head(neg_pairs)

Ahora bien, que sectores corresponden a estas correlaciones:

subset(data, symbols %in% c("MMC", "HLT"))

subset(data, symbols %in% c("MMC", "UPS"))

Encontramos casos correlaciones que parecen no tener una colinealidad o relación directa, según su sector.

Filtrando dataframes para un EDA:

# Columnas con correlacion altamente positiva
pos_corr_stocks <- stock_data_df %>% select(Date, MMC, HLT)

# Columnas con correlacion altamente positiva
neg_corr_stocks <- stock_data_df %>% select(Date, MMC, UPS)

stock_data_df

Exploratory Data Analysis (EDA)

1. Tendencia de los precios de cierre para cada símbolo

Correlación positiva:

price_trend_plot_filtered <- pos_corr_stocks %>%
  pivot_longer(-Date, names_to = "Symbol", values_to = "Close") %>%
  ggplot(aes(x = Date, y = Close, color = Symbol)) +
  geom_line() +
  labs(title = "Algunas tendencia de precios de cierre", x = "Fecha", y = "Precio de Cierre") +
  theme_minimal()

print(price_trend_plot_filtered)

Correlación negativa:

price_trend_plot_filtered <- neg_corr_stocks %>%
  pivot_longer(-Date, names_to = "Symbol", values_to = "Close") %>%
  ggplot(aes(x = Date, y = Close, color = Symbol)) +
  geom_line() +
  labs(title = "Algunas tendencia de precios de cierre", x = "Fecha", y = "Precio de Cierre") +
  theme_minimal()

print(price_trend_plot_filtered)

2. Histograma de los retornos diarios para cada símbolo filtrado

Correlación positiva:

return_hist_plot_filtered <- pos_corr_stocks %>%
  pivot_longer(-Date, names_to = "Symbol", values_to = "Return") %>%
  ggplot(aes(x = Return, fill = Symbol)) +
  geom_histogram(bins = 50, color = "black", alpha = 0.7) +
  labs(title = "Histograma de sus retornos diarios", x = "Retorno diario", y = "Frecuencia") +
  theme_minimal()

print(return_hist_plot_filtered)

Las correlaciones positivas indican que las acciones tienden a moverse en la misma dirección, lo cual es común entre empresas que operan en sectores similares o que responden de manera similar a cambios en el mercado.

Correlación negativa:

return_hist_plot_filtered <- neg_corr_stocks %>%
  pivot_longer(-Date, names_to = "Symbol", values_to = "Return") %>%
  ggplot(aes(x = Return, fill = Symbol)) +
  geom_histogram(bins = 50, color = "black", alpha = 0.7) +
  labs(title = "Histograma de sus retornos diarios", x = "Retorno diario", y = "Frecuencia") +
  theme_minimal()

print(return_hist_plot_filtered)

Las correlaciones negativas, en cambio, sugieren que las acciones pueden moverse en direcciones opuestas, lo que podría ser útil para estrategias de cobertura o diversificación en carteras de inversión.

CONCLUSION: Analizar valores bursátiles/stocks e intentar relacionarlos por sus correlaciones o sus distribuciones de ROC es confuso, sobretodo para el ojo inexperto. Conocer el tipo de industria o negocio que sustenta al stock para relevante, pero aún así no parece suficiente para agruparlos por su compartamiento bursatil.

Graphical LASSO

Aplicación a los retornos

Aplicación de la técnica, paso por paso, partiendo del dataframe de retornos en lugar de los valores de cierre. Esto, resulta ventajoso para:

• Eliminar las tendencias de largo plazo
• Sumar comparabilidad (retornos adimencionales)
• Captar mejor los fenómenos estacionarios
• Reducir impacto de eventos corporativos (splits o distribución de dividendos)
• Foco en las ganancias de los activos, con mayor valor en el mundo del trading

Cálculo de la Matriz de Covarianza

cov_matrix <- cov(na.omit(returns)) # al omitir na se pierden varios años de datos VER

Aplicación de Graphical LASSO

La matriz de covarianza contiene la información estadística de cómo las variables (valores o retornos) varian conjuntamente. La matriz de correlación usa a la covarianza y trata de indicar la intensidad y la dirección de la relación entre variables, tal como analizamos anteriormente.

Sin embargo, existen correlaciones espureas o indirectas, indescifrables a partir de una matriz de correlación.

Graphical LASSO aborda este problema trabajando sobre la matriz de precisión que, para cada elemento \(\Omega_{jk}\) describe la dependencia condicional entre dos variables (\(X_j\) y \(X_k\)), es decir, cuánto están relacionadas cuando se eliminan los efectos de todas las demás variables.

Luego, la matriz de precisión \(\Omega\) puede ser aproximada por la inversa de la matriz de covarianza \(\Sigma^-1\). Entonces, Graphical LASSO estima una matriz de precisión esparsa \(\hat{\Omega}\), que es la inversa de la matriz de covarianza regularizada con la siguiente función de optimización:

\[ \hat{\Omega} = \underset{\Omega \succ 0}{\arg \min} \ \Big[ \text{tr}(\Sigma \Omega) - \log\det(\Omega) + \lambda \|\Omega\|_1 \Big] \]

Donde:

• \(\Sigma\): matriz de covarianza.
• \(\Omega\): matriz de precisión (inversa de la covarianza).
• \(\text{tr}(\Sigma \Omega)\): traza del producto entre \(\Sigma\) y \(\Omega\).
• \(\log\det(\Omega)\): logaritmo del determinante de \(\Omega\), que garantiza que \(\Omega\) sea positiva definida.
• \(\|\Omega\|_1\): suma de los valores absolutos de los elementos de \(\Omega\), que induce esparsidad.
• \(\lambda\): parámetro de regularización (también llamado \(\rho\) en algunos contextos).

Intuición del término de regularización

A medida que \(\lambda\) aumenta, más elementos de \(\hat{\Omega}\) se fuerzan a cero, eliminando conexiones entre variables y generando un grafo más esparso. Un \(\lambda\) bajo permite conexiones más débiles y genera un grafo más denso.

Matriz de precisión

Usamos la función glasso para resolver este problema. El resultado incluye la matriz de precisión regularizada (\(\hat{\Omega}\)):

rho <- 0.1  # Valor de regularización bajo
glasso_result <- glasso(cov_matrix, rho = rho)

# Matriz de precisión
precision_matrix <- glasso_result$wi

Matriz de correlación parcial

La correlación parcial mide la relación directa entre dos variables \(X_j\) y \(X_k\), eliminando los efectos de todas las demás variables (\(X_{\setminus\{j,k\}}\)). Se calcula a partir de la matriz de precisión regularizada (\(\Omega\)).

Dado que \(\Omega\) es la matriz de precisión, la correlación parcial entre \(X_j\) y \(X_k\) está dada por:

\[ R_{jk} = -\frac{\Omega_{jk}}{\sqrt{\Omega_{jj} \cdot \Omega_{kk}}} \]

Donde:

• \(\Omega_{jk}\): elemento de la matriz de precisión que representa la dependencia condicional entre \(X_j\) y \(X_k\).
• \(\Omega_{jj}\) y \(\Omega_{kk}\): elementos diagonales de \(\Omega\), que representan la varianza condicional de \(X_j\) y \(X_k\).

Intuición matemática

Si \(\Omega_{jk}\) es cero, \(R_{jk} = 0\). Esto indica que \(X_j\) y \(X_k\) son condicionalmente independientes, dado el resto de las variables. Si \(\Omega_{jk} \neq 0\), el signo y la magnitud de \(R_{jk}\) determinan la dirección y fuerza de la relación directa entre \(X_j\) y \(X_k\).

# Calcular matriz de correlación parcial
partial_corr_matrix <- matrix(0, nrow = nrow(precision_matrix), ncol = ncol(precision_matrix))
for (j in 1:nrow(precision_matrix)) {
  for (k in 1:ncol(precision_matrix)) {
    partial_corr_matrix[j, k] <- -precision_matrix[j, k] / sqrt(precision_matrix[j, j] * precision_matrix[k, k])
  }
}
diag(partial_corr_matrix) <- 0  # Evitar autoconexiones
colnames(partial_corr_matrix) <- colnames(returns)
rownames(partial_corr_matrix) <- colnames(returns)

Visualizar las relaciones como un gráfico de red

Usamos igraph para construir y visualizar un gráfico basado en las conexiones significativas en la matriz de correlación parcial.

# Construir grafo desde la matriz de correlación parcial
stock_graph <- graph_from_adjacency_matrix(partial_corr_matrix > 0.1, mode = "max", weighted = TRUE)

# Asignar sectores a los nodos
V(stock_graph)$sector <- data$sectors[match(V(stock_graph)$name, data$symbols)]

# Crear un vector de colores únicos para cada sector
unique_sectors <- unique(V(stock_graph)$sector)
sector_colors <- rainbow(length(unique_sectors))  # Genera una paleta de colores

# Mapear cada sector a un color
sector_color_map <- setNames(sector_colors, unique_sectors)

# Asignar colores a los vértices según su sector
V(stock_graph)$color <- sector_color_map[V(stock_graph)$sector]

plot(stock_graph,
     vertex.size = 10,
     vertex.label = NULL,
     edge.width = E(stock_graph)$weight * 2,
     vertex.color = V(stock_graph)$color,
     main = "Grafo de acciones - según retornos y coloreado sector")

Gráfico HTML interactivo con graphjs:

# make interactive graph
stock_graph_js <- graphjs(g=stock_graph, 
                layout_with_fr(stock_graph, weights=30*E(stock_graph)$width, dim=3),
                vertex.size=0.7,
                vertex.frame.color="white",
                vertex.frame.width=0.2,
                vertex.label=paste(names(V(stock_graph)), "-", V(stock_graph)$sector),  # Asignar nombres que incluyan el sector
                vertex.color = V(stock_graph)$color,
                brush=TRUE,  # resalte del nodo con un click
                showLabels=TRUE,  # mostrar nombres con hover
                edge.alpha=0.6,  # transparencia de las conexiones
                bg="black",  # background
                main="Stocks graph using returns with Graphical Lasso")

# save graph
graph_filename <- paste0("returns_graph_rho_", rho, "_with_sectors.html")
saveWidget(stock_graph_js, file=graph_filename)

# open in browser
browseURL(graph_filename)

OBSERVACIÓN: con returns el método falla y no encuentra relaciones.

Aplicación a los valores de cierre

Aplicación de la técnica, paso por paso, partiendo del dataframe de valores de cierre de los stocks.

1. Cálculo de la Matriz de Covarianza

cov_matrix <- cov(na.omit(stock_data)) # al omitir na se pierden varios años de datos VER

2. Matriz de precisión

Usamos la función glasso para resolver este problema. El resultado incluye la matriz de precisión regularizada (\(\hat{\Omega}\)):

rho <- 0.9  # Valor de regularización elevado
glasso_result <- glasso(cov_matrix, rho = rho)

# Matriz de precisión
precision_matrix <- glasso_result$wi

3. Matriz de correlación parcial

La correlación parcial mide la relación directa entre dos variables \(X_j\) y \(X_k\), eliminando los efectos de todas las demás variables (\(X_{\setminus\{j,k\}}\)). Se calcula a partir de la matriz de precisión regularizada (\(\Omega\)).

Dado que \(\Omega\) es la matriz de precisión, la correlación parcial entre \(X_j\) y \(X_k\) está dada por:

\[ R_{jk} = -\frac{\Omega_{jk}}{\sqrt{\Omega_{jj} \cdot \Omega_{kk}}} \]

Donde:

• \(\Omega_{jk}\): elemento de la matriz de precisión que representa la dependencia condicional entre \(X_j\) y \(X_k\).
• \(\Omega_{jj}\) y \(\Omega_{kk}\): elementos diagonales de \(\Omega\), que representan la varianza condicional de \(X_j\) y \(X_k\).

Intuición matemática

Si \(\Omega_{jk}\) es cero, \(R_{jk} = 0\). Esto indica que \(X_j\) y \(X_k\) son condicionalmente independientes, dado el resto de las variables. Si \(\Omega_{jk} \neq 0\), el signo y la magnitud de \(R_{jk}\) determinan la dirección y fuerza de la relación directa entre \(X_j\) y \(X_k\).

# Calcular matriz de correlación parcial
partial_corr_matrix <- matrix(0, nrow = nrow(precision_matrix), ncol = ncol(precision_matrix))
for (j in 1:nrow(precision_matrix)) {
  for (k in 1:ncol(precision_matrix)) {
    partial_corr_matrix[j, k] <- -precision_matrix[j, k] / sqrt(precision_matrix[j, j] * precision_matrix[k, k])
  }
}
diag(partial_corr_matrix) <- 0  # Evitar autoconexiones
colnames(partial_corr_matrix) <- colnames(returns)
rownames(partial_corr_matrix) <- colnames(returns)

4. Visualizar las relaciones como un gráfico de red

Usamos igraph para construir y visualizar un gráfico basado en las conexiones significativas en la matriz de correlación parcial:

# Construir grafo desde la matriz de correlación parcial
stock_graph <- graph_from_adjacency_matrix(partial_corr_matrix > 0.1, mode = "max", weighted = TRUE)

• El grafico se genera a partir de matriz de correlación parcial, que muestra las relaciones significativas entre las acciones.
• En este caso, se han seleccionado solo las correlaciones mayores a 0.1 para construir las conexiones en el grafo.
• Se utilizó el paquete igraph para crear y visualizar el gráfico de red.

# Asignar sectores a los nodos
V(stock_graph)$sector <- data$sectors[match(V(stock_graph)$name, data$symbols)]

• Cada nodo en el gráfico representa una acción, y a estos nodos se les asignan los sectores correspondientes.
• Esto se logra mediante la función match() para emparejar los nombres de las acciones (símbolos) con sus sectores en el dataset.

# Crear un vector de colores únicos para cada sector
unique_sectors <- unique(V(stock_graph)$sector)
sector_colors <- rainbow(length(unique_sectors))  # Genera una paleta de colores

• Para hacer que la visualización sea más intuitiva, cada sector tiene un color único, generado a partir de una paleta de colores (rainbow).
• Esto facilita la identificación de los sectores a través de los colores asignados a los nodos.

# Mapear cada sector a un color
sector_color_map <- setNames(sector_colors, unique_sectors)

• Se ajustaron elementos visuales como el tamaño de los vértices, la ausencia de etiquetas en los nodos (a fin de mantener el gráfico limpio) y el grosor de las aristas, que varía en función del peso (o intensidad) de la correlación entre las acciones

# Asignar colores a los vértices según su sector
V(stock_graph)$color <- sector_color_map[V(stock_graph)$sector]

plot(stock_graph,
     vertex.size = 10,
     vertex.label = NULL,
     edge.width = E(stock_graph)$weight * 2,
     vertex.color = V(stock_graph)$color,
     main = "Grafo de acciones - según valores y coloreado sector")

• Este gráfico no solo muestra la estructura de correlaciones significativas, sino que también permite observar cómo las acciones dentro de un mismo sector tienden a estar fuertemente correlacionadas.
• Esta visualización puede ser útil para identificar grupos de acciones que comparten comportamientos similares y que podrían reaccionar de manera similar ante movimientos del mercado.

Gráfico HTML interactivo con graphjs:

# make interactive graph
stock_graph_js <- graphjs(g=stock_graph, 
                layout_with_fr(stock_graph, weights=30*E(stock_graph)$width, dim=3),
                vertex.size=0.7,
                vertex.frame.color="white",
                vertex.frame.width=0.2,
                vertex.label=paste(names(V(stock_graph)), "-", V(stock_graph)$sector),  # Asignar nombres que incluyan el sector
                vertex.color = V(stock_graph)$color,
                brush=TRUE,  # resalte del nodo con un click
                showLabels=TRUE,  # mostrar nombres con hover
                edge.alpha=0.6,  # transparencia de las conexiones
                bg="black",  # background
                main="Stocks graph using values with Graphical Lasso")

# save graph
graph_filename <- paste0("values_graph_rho_", rho, "_with_sectors.html")
saveWidget(stock_graph_js, file=graph_filename)

# open in browser
browseURL(graph_filename)